Avaliação de opções de ações executivas em um quadro baseado em intensidade Este artigo apresenta um quadro geral baseado em intensidade para valorar opções de ações executivas (ESOs). Ele baseia-se nos recentes avanços na arena de modelos de risco de crédito. O exercício antecipado ou confisco devido à rescisão de emprego voluntário ou involuntário e o exercício antecipado devido ao desejo dos executivos de liquidez ou diversificação são modelados como um processo de ponto exógeno com intensidade aleatória dependente do preço das ações. São dadas duas especificações analiticamente tratáveis onde o valor ESO, o tempo esperado de exercício ou a perda e o preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco são calculados em forma fechada. Classificação JEL: G13, G39, M41. Se você tiver problemas ao fazer o download de um arquivo, verifique se você possui o aplicativo apropriado para vê-lo primeiro. Em caso de problemas adicionais, leia a página de ajuda IDEAS. Observe que esses arquivos não estão no site IDEAS. Seja paciente porque os arquivos podem ser grandes. Como o acesso a este documento é restrito, você pode procurar uma versão diferente em Pesquisa relacionada (mais adiante) ou procurar uma versão diferente dela. Artigo fornecido pela European Finance Association em sua revista Review of Finance. Volume (Ano): 4 (2000) Emissão (Mês): 3 () Páginas: 211-230 Encontre documentos relacionados pela classificação JEL: G13 - Economia Financeira - - Mercados Financeiros Gerais - - - Preços Contingentes Preços Futuros G39 - Economia Financeira - - Finanças Corporativas e Governança - - - Outros M41 - Administração de Empresas e Economia de Negócios Marketing Contabilidade Pessoal Economia - - Contabilidade - - - Contabilidade Nenhuma referência listada em IDEIAS Você pode ajudar a adicioná-las preenchendo este formulário. As citações são extraídas pelo Projeto CitEc. Assine seu feed RSS para este item. 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Impresso na Holanda. 211 Avaliação das Opções de Ações Executivas em um quadro baseado em Intensidade PETER CARR 1 e VADIM LINETSKY 2 1 Bancos da América Securities, Equity Financial Products, 9 West 57th street, 4th floor, New York, NY Departamento de Engenharia Industrial e Ciências da Gestão, McCormick School of Engineering and Applied Sciences, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Resumo. Este artigo apresenta um quadro geral baseado em intensidade para avaliar as opções de ações executivas (ESOs). Ele baseia-se nos recentes avanços na arena de modelos de risco de crédito. O exercício antecipado ou confisco devido à rescisão de emprego voluntário ou involuntário e o exercício antecipado devido ao desejo de liquidez ou diversificação do executivo são modelados como um processo de ponto exógeno com intensidade aleatória dependente do preço das ações. São dadas duas especificações analiticamente tratáveis onde o valor ESO, o tempo esperado de exercício ou a perda e o preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco são calculados em forma fechada. Palavras-chave: área browniana, exercício inicial, opções de ações executivas, fórmula de Feynman-Kac, confisco, transformação de Laplace, tempo de ocupação, processos pontuais com intensidade aleatória. Classificação JEL: G13, G39, M Introdução As opções de estoque de executivos (ESOs) atualmente constituem uma fração considerável de despesas de compensação total de várias empresas. É importante avaliar com precisão o custo dessas opções para os acionistas tanto para fins contábeis como desde uma perspectiva de controle gerencial (ver Carpenter, 1998 Foster et al., 1991, Jennergren e Naslund, 1993). Desde 1995, o Conselho de Normas de Contabilidade Financeira (FASB) SFAS 123 ordenou que uma estimativa do custo dos subsídios ESO seja divulgada em uma nota de rodapé. Embora não seja necessário, o método de avaliação recomendado é usar a fórmula de preços de chamadas europeias Black Scholes. A maturidade sugerida usada nesta fórmula é a vida esperada, embora a vida máxima (tipicamente 1 ano na concessão) também possa ser usada. Rubinstein (1995) argumenta em bases teóricas de que qualquer dos métodos tenderá a causar sobrevalorização. Da mesma forma, Marquardt (1999) empir - Estamos gratos pela assistência computacional de Dmitry Davydov e pelos comentários de Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe e Carol Marqurdt. Eles não são responsáveis por quaisquer erros. 2 212 PETER CARR E VADIM LINETSKICICAMENTE determinam que ambos os métodos superam o custo econômico para os acionistas da emissão de ESOs. Os ESO geralmente são chamadas americanas de longa data que diferem das opções padrão na medida em que possuem um período inicial de aquisição durante o qual o exercício é proscrito. Embora seja direto determinar numericamente o valor e a política de exercício ideal para ESOs em um mercado sem atrito, certas fricções institucionais complicam a determinação da política de exercício ideal para ESOs. Primeiro, o titular de um ESO não pode vender ou transferir sua opção. Além disso, o titular não pode proteger a sua ligação, uma vez que as posições curtas no estoque da empresa são proibidas. Em contrapartida, o emitente pode transferir sua responsabilidade ou proteger sua obrigação. Em geral, essa assimetria conduz uma cunha entre o valor para o destinatário e o valor para o emissor. Ambos os valores são afetados pela política de exercícios utilizada pelos executivos, que é, em geral, determinada tanto pela informação pública como os preços das ações e por informações específicas do executivo, como a composição do portfólio pessoal, a aversão ao risco e a demanda por liquidez do executivo. A política de exercício ótima empregada pelo executivo não precisa combinar com a política de exercícios ótima prevalecente na ausência dessas fricções, uma vez que o exercício antecipado pode ser ótimo para diversificação ou razões de liquidez, mesmo que o estoque subjacente não pague dividendos. Uma segunda razão pela qual a política de exercicios ótimos do executivo pode se desviar da política de mercados perfeita é que o executivo pode deixar a empresa voluntária ou involuntariamente enquanto a opção estiver viva. Nesse caso, o executivo perde suas opções se estiverem fora do dinheiro, e terá de se exercitar cedo se estiverem no dinheiro. Duas abordagens gerais foram adotadas para modelar decisões de exercicios executivos e avaliar o custo de ESOs para a empresa. Na primeira abordagem, assume-se que o executivo exerce a opção de acordo com uma política que maximize sua utilidade esperada sujeita a restrições de hedge (Huddart, 1994 Marcus e Kulatilaka, 1994 Detemple e Sundaresan, 1998). Nesta abordagem, é preciso modelar explicitamente tais variáveis não observáveis como a aversão ao risco do executivo, sua riqueza externa e o potencial de mudar seu emprego. Na abordagem alternativa, um modelo de exercício adiantado como um tempo de parada exógeno, e. O primeiro tempo de pular de algum processo de Poisson exógeno, como em Jennergren e Naslund (1993). O processo de Poisson serve como um proxy para qualquer coisa que faça com que o executivo exerça a opção antecipadamente, incluindo o desejo de diversificação ou liquidez e rescisão do emprego voluntário ou involuntário. Em contraste com a abordagem de maximização da utilidade, a taxa de perigo ou intensidade deste processo de Poisson exógeno é o único parâmetro no modelo que precisa ser estimado a partir de dados empíricos. Em um interessante artigo recente, Carpenter (1998) mostra que este segundo modelo baseado em intensidade de forma reduzida também funciona ou melhor que o modelo estrutural mais complicado em testes empíricos dos dois modelos de avaliação ESO concorrentes na predição de padrões de exercício reais para uma amostra de 4 empresas. Essa dicotomia na modelagem da decisão de exercicios do executivo é paralela à modelagem de eventos padrão exigidos na avaliação de dívidas corporativas de risco de risco. A literatura 3 3 sobre o preço da dívida de risco de crédito pode ser subdividida em duas classes: modelos estruturais e modelos baseados em intensidade reduzida. A primeira classe de modelos, que remonta a Black e Scholes (1973) e Merton (1974), modela o evento padrão estruturalmente como uma decisão de maximização de utilidade pelos detentores de participação (ver Leland (1994) e Leland e Toft (1996)). A segunda classe de modelos são modelos de forma reduzida que especificam exógenamente o padrão como ocorrendo no primeiro tempo de pular de um processo de ponto com intensidade aleatória (taxa de risco padrão) (ver Duffie et al., 1996 Duffie e Singleton, 1998 Jarrow e Turnbull, 1995 Jarrow et al., 1996 Lando, 1998, Madan e Unal, 1996, 1998). Davydov et al. (1998) valorizam a dívida de risco de risco no quadro baseado em intensidade, usando uma abordagem semelhante à nossa. Em todos esses modelos, a intensidade do processo do ponto é calibrada para dados empíricos. Devido à relativa simplicidade de calibração e testes empíricos, a filosofia de modelagem em forma reduzida está ganhando popularidade considerável nos mercados de crédito. A contribuição deste artigo é dupla. Em primeiro lugar, desenvolvemos uma estrutura geral baseada em intensidade estocástica para a avaliação de ESOs em que o exercício inicial ou a intensidade de confisco h t h (s t, t) depende do preço e do tempo subjacente das ações. Em segundo lugar, sugerimos duas especificações anali ticamente analisáveis simples de modelos baseados em taxa de risco de ESOs. No primeiro exemplo, a intensidade é especificada da seguinte forma (assumindo que o ESO está investido): ht lambda f lambda e 1, (1) onde S t é o preço do estoque subjacente, K é o preço de exercício da ESO, lambda f é o Intensidade constante do exercício antecipado ou confisco devido à extinção de emprego voluntário ou involuntário exógeno (assumido independente do preço das ações) e lambda e 1 é a intensidade constante do exercício antecipado devido ao desejo exógeno de executivos de liquidez ou diversificação assumido positivo E constante se o ESO estiver in-the-money e zero caso contrário (1 A é a função de indicador do evento A e in lambda e significa exercício). Assim, a intensidade da perda quando o estoque é fora do dinheiro é lambda f (f significa perda), enquanto a intensidade total do exercício antecipado quando a opção é in-the-money é lambda f lambda e. O risco integrado linearmente depende do tempo de ocupação do estoque subjacente acima da greve K (ou seja, quando o ESO é in-the-money) eo modelo de avaliação ESO correspondente desenha alguns resultados recentes sobre os derivados do tempo de ocupação (ver Akahori, 1995 Chesney Et al. 1997 Dassios, 1995 Davydov e Linetsky, 1998 Embrechts et al., 1995 Hugonnier, 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). No segundo exemplo analiticamente tratável, a intensidade é especificada da seguinte forma (assumindo que o ESO está adquirido): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR E VADIM LINETSKY Neste caso, o primeiro termo devido à rescisão ainda é independente do preço das ações 1, mas o segundo termo devido ao desejo de liquidez ou diversificação é agora uma função monotonamente crescente do subjacente Preço de ações se o ESO estiver dentro do dinheiro e zero de outra forma (x: x1 denota a parte positiva de x). O risco integrado linearmente depende da chamada área browniana e o modelo de avaliação ESO correspondente desenha os resultados de Davydov, Linetsky e Lotz (1998) em opções de área. O restante deste artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2, consideramos um quadro geral baseado em intensidade estocástica para a avaliação de ESOs. Na Seção 3, resolvemos o modelo com a especificação de intensidade indicada em (1). Na Seção 4, resolvemos o modelo com a especificação de intensidade (2). Os exemplos numéricos são dados na Seção 5. A seção 6 conclui o documento. 2. Uma formulação geral baseada em intensidade Assumimos mercados sem fricção, sem dividendos, uma taxa constante de risco livre e que o preço do estoque subjacente obedece ao seguinte processo de difusão sob a medida de probabilidade de risco neutro Q: ds t rs t dt sigma (st, t ) St dw Q t, t gt, SS, onde Wt Q é um movimento Browniano padrão, o processo está começando em SS no tempo t, e a função de volatilidade local sigma (s, t) é assumida contínua e estritamente positiva para todos os S ,) E delimitado como S (para todos os t). O tempo de início de exercício ou confisco T pode ser considerado como o primeiro tempo de salto de um processo de ponto com intensidade aleatória (taxa de perigo) h t, que geralmente é função do tempo e do preço do estoque subjacente, h t h (s t, t). Então, a probabilidade em Q de nenhum exercício precoce até o tempo t para um determinado caminho do preço das ações é (veja Bremaud (198) e Lando (1998) para detalhes sobre processos pontuais com intensidade aleatória) e Q (T gtt) eth (su , U) du, (3) Q (T gtt) EQ, S eth (su, u) du, onde a expectativa é com relação à medida neutra ao risco Q. Permitir ser a data de concessão do ESO e a TV, T ser A data de aquisição ESO, o valor em t, T de um ESO não exercido com preço de operação K e o prazo de vencimento T são dados pela expectativa de risco neutro: 1 Em geral, também pode-se tornar a intensidade de caducidade lambda fa função do preço das ações argumentando Que o executivo é mais provável que deixe a empresa quando o preço das ações é baixo em relação ao preço de exercício de seus ESOs. Por simplicidade, assumimos que lambda f é constante. 5 OPÇÕES DE ACÇÃO EXECUTIVAS EM UM QUADRO A BASE DE INTENSIDADE 215 C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) onde T é Um tempo de parada assumido como o primeiro tempo de salto do processo de ponto com intensidade ht, e o subtítulo t, s no operador de expectativa E t, s significa que o preço das ações é S no tempo t. Note-se que, seguindo Jennergren e Naslund (1993), assumimos que o risco de salto não tem preço, ou seja, que pode ser diversificado através da emissão de um portfólio diversificado de ESOs. Uma vez que muitas empresas emitem vários ESOs 2, consideramos isso como uma suposição razoável na prática. O primeiro termo no lado direito da Equação (4) é o valor presente da opção de recompensa no vencimento, dado nenhum exercício adiantado. O segundo termo é o valor presente da recompensa no momento do exercício, uma vez que a opção é exercida antecipadamente. Esta decomposição de valor é análoga a uma decomposição de valor resultante de valores inadimplentes. O primeiro termo em (4) é análogo ao valor presente do pagamento prometido condicional em nenhum incumprimento, enquanto o segundo termo é o valor presente do pagamento de recuperação pago no momento do incumprimento se o padrão ocorrer antes do vencimento. Devido ao relacionamento-chave (3), a expectativa pode ser reescrita na forma: e C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s max (tv, t) er (ut) EQ t , Sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Pelo teor de Feynman-Kac (ver, por exemplo, Karatzas e Shreve (1992)), o valor ESO C (S, t K, T) no tempo t, tt T, é a solução única para o problema de Cauchy para PDE: 1 2 sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C 2 S rc h (s, t) 1 (SK) CC t sujeito à condição terminal, (5) C (S, TK, T) (SK) . (6) O significado financeiro do segundo último termo no lado esquerdo da Equação (5) é que, durante um período de tempo infinitesimal, há uma probabilidade de o executivo exercer sua opção e receber (S t K ) Em troca se o ESO for adquirido (t gtt v) e nada de outra forma (a opção é perdida). Além do valor ESO, também estamos interessados no tempo esperado de exercício ou confisco (o prazo esperado de ESO): T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 Por exemplo, Marquardt (1999) examina 58 empresas Fortune 1 ao longo de um período de 21 anos e encontra uma média de 17 subsídios por empresa. 6 216 PETER CARR E VADIM LINETSKY e o preço das ações esperadas no momento do exercício ou confisco: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Observe que, em contraste com o cálculo do valor ESO que é realizado sob a medida neutra de risco Q, essas quantidades são calculadas sob a medida estatística P onde: ds t ms t dt sigma (st, t) st dw P T, SS e m é a taxa de retorno anual antecipada esperada sobre o estoque no mundo real (m é assumido constante). Usando o relacionamento-chave (3) (considerado em P), é fácil ver que as Equações (7) - (8) reduzem para: e TP (T gtt) TP (TT) t dt P (T gtt) dt teth ( Su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P th (su, u) du h (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart e Lang (1996) e Marquardt (1999) dão tempos de exercício empíricos esperados e preços médios das ações no momento do exercício para suas amostras. Dado os valores dos parâmetros m, sigma, S, t v, andt, pode-se calibrar a intensidade do exercício ou confisco h t aos dados empíricos usando Equações (9) e (1). 3. A especificação do tempo de ocupação: um modelo de opção de etapa para avaliar ESOs Nesta seção, restringimos a configuração discutida na seção anterior com uma visão para obter soluções explícitas para as quantidades de interesse. Nós assumimos uma volatilidade constante, isto é sigma (s, t) sigma, e que a opção é adquirida, ou seja, t v (estendemos o caso de opções que ainda não foram adquiridas no final desta Seção). Consideramos também uma especificação particularmente simples para o exercício ou a intensidade de confisco: ht lambda f lambda e 1, (11) onde S t é o preço do estoque subjacente, K é o preço de exercício da ESO, lambda f é a intensidade constante do início Exercício ou confisco devido à rescisão exógena de emprego voluntário ou involuntário (assumida independentemente do preço das ações), 7 OPÇÕES EXECUTIVAS EM MATÉRIA DE INTENSIDADE 217 e lambda e 1 é a intensidade constante do exercício antecipado devido ao exógeno executivo O desejo de liquidez ou diversificação assumiu positivo e constante se o ESO for in-the-money e zero caso contrário. Sob estes pressupostos, o valor ESO inicial (ou seja, t) (4) simplifica para 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) (lambda (T) (S), (12) onde tau K (t) t 1 du é o tempo de ocupação do in-the-money (e) e (e) e (rlambda f) t EQ, S e lambda etau K (t) Região até o momento t. Esta expectativa pode ser expressa como uma carteira de opções passo-a-passo e geométricas com taxa de eliminação lambda e barreira knock-out igual à greve: C (SK, T lambda f, lambda e) e lambda f TC lambda e ( ST, K, K) (lambda f lambda e) e lambda ft C lambda e (S t, k, k) dt, (13) onde C lambda e (S t, k, k) é o valor de um up - E-out passo geométrico com preço de operação K, taxa de eliminação lambda e, nível de barreira knock-out K e maturidade t (ver Linetsky (1998, 1999)): C lambda e (S t, k, k) e Rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) A remuneração na maturidade t de um passo escalonado geométrico pode ser interpretada como a de uma chamada padrão, exceto que o dividendo subjacente é dependente do caminho, dependendo do tempo de ocupação acima da greve: e lambdatau K (t ). Em outras palavras, uma chamada de passo geométrico perde uma fração dada do seu valor nominal por unidade acima da barreira. Introduza a seguinte notação: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r sigma 2 Então a expectativa na Equação (14) diminui para: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e (S T, k k) e (xilambda e) t nux K lambdae (nu sigma, x, t) lambdae (nu, x, t), (16) 3 Observe que a intensidade de caducidade constante lambda f é adicionada à taxa de desconto Na Equação (12). Intuitivamente, a possibilidade de confisco diminui o valor do ESO da mesma forma que a possibilidade de inadimplência diminui o valor de uma obrigação inadimplente, e a intensidade da perda é adicionada à taxa livre de risco como spread de crédito. 8 218 PETER CARR E VADIM LINETSKY onde a função é definida como: rho (nu k, x, t): E, xe nuw t rho (t) 1, (17) onde a expectativa E, x é condicional ao movimento browniano W t começando em x em t e (t) t 1 du é o tempo de ocupação da meia linha negativa (,) até o tempo t. 4 Esta expectativa é calculada em forma fechada em Linetsky (1999). Para a conveniência do leitor, a forma analítica explícita da função é dada no Apêndice A. Assim, as Equações (13) e (16) fornecem uma solução analítica simples para o valor ESO de acordo com a especificação (11) para a intensidade do exercício e confisco . O tempo esperado de exercício ou confisco (9) sob esta especificação é: T e (lambda f lambda e nup 2 2) t nu P x lambdae (nu P, x, t) dt, (18) onde (lembre-se de que T e ST são calculados sob a medida estatística P): nu P: 1 sigma (m sigma 2 2). (19) O preço da ação esperada no momento do exercício ou confisco é: ST e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f lambda e Nu 2 P 2) t nu P x lambda f lambdae (nu P sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P sigma, x, t) dt. (2) Agora considere o caso t v gt, isto é, a opção ainda não está adquirida. Suponha que S v S (t v) seja o preço da ação na data de aquisição. O valor ESO na data da data de aquisição é dado por C (S v K, T TV lambda f, lambda e) definida pela Equação (13) (observe que o tempo até a maturidade é agora igual a T TV, por isso precisamos substituir TT tv in Equation (13)). Em seguida, o valor ESO no tempo t é computado tomando a expectativa: C (S, K, tv, tmbmbf f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p Q (S v, tv S,) dS v, (21) 4 Para os antecedentes sobre os tempos de ocupação e outros funcionais dos processos de movimento e difusão Brownian, bem como dos cálculos de Feynman-Kac de suas leis, veja Karatzas e Shreve ( 1992), Borodin e Salminen (1996) e Revuz e Yor (1994). 9 OPÇÕES DE ACÇÕES EXECUTIVAS EM UM QUADRO BASEADO NA INTENSIDADE 219 onde p Q é a densidade de probabilidade (lognormal) do preço da ação na data de aquisição, dado o preço atual das ações hoje (no tempo t): (S v, tv S,) 4. A Especificação da Área Browniana: Um Modelo de Opção de Área para Avaliar ESOs Como na seção anterior, primeiro assumimos que a opção já está adquirida, Ou seja, tv. De acordo com a especificação do tempo de ocupação, a intensidade do exercício ou a caducidade é constante acima da greve. Uma alternativa analiticamente tratável é: ()) ht lambda f lambda e (ln S t ln K) St lambda f lambda e (ln. (23) K Neste caso, o primeiro termo devido à cessação voluntária ou involuntária do emprego ainda é independente Do preço das ações, mas o segundo termo devido ao desejo de liquidez ou diversificação é agora uma função crescente da moeda S t K se o ESO estiver dentro do dinheiro e zero de outra forma (x denota a parte positiva de x). Uma especificação similar para a taxa de risco padrão foi utilizada por Davydov, Linetsky e Lotz (1998) para modelar dívidas corporativas de risco de crédito. O valor ESO adquirido (4) sob esta especificação toma a forma:) C (SK, T lambda f, Lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t) e (rlambda f) t EQ, S exp (lambda e (lns u lnk) du () St (24) K Para calcular esta expectativa, primeiro observamos que o processo do preço das ações pode ser representado como: S t Ke sigma (nutw t), (25) onde W T é um movimento browniano começando em x (definido na Equação (15)) no tempo t. Em seguida, devido ao teorema de Girsanov: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) nu2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) e (rlambda f) T E, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te W u du lambda f sigmalambda e W t 10 22 PETER CARR E VADIM LINETSKY (Ke sigmaw t K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (nu sigma, x , T) sigmalambdae (nu, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nu sigma, x, t) sigmalambdae (nu sigma, x, t) lambda f sigmalambdae (nu, x, t) Sigmalambda e dt, (26) nu, onde introduzimos a seguinte notação: alfa (nu k, x, t): E, xe nuw t alphaa t 1, (27) A t : T W u du. (28) O A funcional é chamado de área browniana até o tempo t (ver Perman e Wellner, 1996). É igual à área (aleatória) sob a parte positiva de um caminho de amostra browniano de zero para o tempo t. A expectativa na Equação (27) é calculada por Davydov, Linetsky e Lotz (1998) através do teorema de Feynman-Kac: alfa (nu k, x, t) e nuy E, xe alphaa t W t dy kke nuy L 1 t Dy, (29) onde a expectativa dentro da integral é expressa como a transformada inversa de Laplace em s do kernel resolent G alfa (x, ys). Sua forma analítica é dada no Apêndice B. 5 O tempo esperado de exercício ou confisco de acordo com esta especificação é: T e (lambda f nup 2 2) t nu P x sigmalambdae (nu P, x, t) dt, (3) onde Nu P é dado na Equação (19). O preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco é: 5 O cálculo deste funcional é próximo de espírito aos cálculos de Geman e Yor (1993) para opções asiáticas e Geman e Yor (1996) para opções de barreira dupla e depende Na fórmula Feynman-Kac. 11 OPÇÕES DE ACÇÃO EXECUTIVAS EM UM QUADRO A BASE DE INTENSIDADE 221 ST e (lambda f nup 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f nup 2 2) t nu P x lambda f Sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) O caso t v gt, isto é, a opção ainda não é adquirida, é tratada de forma semelhante à Equação (21). 5. Exemplos numéricos Para ilustrar nossos modelos, considere um ESO de dez anos concedido no dinheiro 6 (S K 1) e adquirido imediatamente (t v). Assumimos que o estoque subjacente tem volatilidade de 3 por ano, não paga dividendos, a taxa de risco livre é de 5 por ano e a taxa de retorno anual antecipada esperada no estoque sob a medida estatística P é m 15 por ano (recorde que a Tempo estimado de exercício ou confisco e o preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco são calculados de acordo com a medida estatística). Os quadros I e II dão o valor ESO na data de concessão, o tempo esperado de exercício ou confisco e o preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco como funções dos parâmetros do processo pontual lambda f e lambda e sob a ocupação Especificação de tempo (11) e a especificação de área browniana (23), respectivamente. Para a lambda f lambda e, o valor ESO é igual ao valor de Black-Scholes de dez anos, o tempo de exercício esperado é igual ao prazo de ESO (dez anos) eo preço do estoque esperado no momento do exercício é igual a e 1m S (sem exercício adiantado ou confisco). À medida que as taxas de lambda f e lambda e aumentam, o valor ESO, o exercício esperado ou o tempo de confisco e o preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco diminuem. Dado T e S T, pode-se calibrar nossos modelos retrocedendo os parâmetros de intensidade lambda f e lambda e e ESO de valor com esses valores de parâmetro. Carpenter (1998) relata que os tempos médios de exercício para ESO de 1 ano em sua amostra são cerca de 5,8 anos, com o preço médio das ações no momento do exercício de cerca de 2,8 vezes o preço de exercício do ESO. Marquardt (1999), que estuda uma amostra diferente de empresas que concedem ESO, relata que os tempos médios de exercício para ESO de 1 ano em sua amostra são de cerca de 5,6 anos, com o preço médio das ações no momento do exercício de cerca de 2,2 vezes o preço de exercício do ESO . Assim, empiricamente, os tempos de exercício típicos estão no intervalo de cinco a seis anos, com o preço das ações no momento do exercício de duas a três vezes a greve do ESO. Considere um exemplo do modelo de tempo de ocupação com lambda f 8 por ano e lambda e 12 por ano. O tempo de exercício esperado para essas intensidades é de 4,99 anos, com o preço esperado das ações no momento do exercício de 2,31 vezes o ESO 6 Marquardt (1999) descobriu que 85 dos 987 ESOs em sua amostra foram emitidos com dez anos até o vencimento. Ela afirma que a maioria é emitida com greve igual ao preço das ações na concessão. 12 222 PETER CARR E VADIM LINETSKY Tabela I. Modelo de tempo de ocupação. Valores ESO, tempos esperados de exercício ou confisco e preços esperados das ações no momento do exercício ou confisco como funções dos parâmetros de intensidade lambda f e lambda e. Parâmetros: K 1, S 1, T 1 anos, sigma .3, r .5, m .15, tv, sem dividendos lambda e lambda f Valor ESO Exercício esperado ou tempo de confisco (anos) Preço esperado da ação no momento do exercício ou Confirmação relativa à greve 13 OPÇÕES DE ACÇÕES EXECUTIVAS EM UM QUADRO A BASE DE INTENSIDADE 223 Tabela II. Modelo de área. Valores ESO, tempos esperados de exercício ou confisco e preços esperados das ações no momento do exercício ou confisco como funções dos parâmetros de intensidade lambda f e lambda e. Parâmetros: K 1, S 1, T 1 anos, sigma .3, r .5, m .15, tv, sem dividendos lambda e lambda f Valor ESO Exercício esperado ou tempo de confisco (anos) Preço esperado da ação no momento do exercício ou Confirmação relativa à greve 14 224 PETER CARR E VADIM LINETSKY greve. O valor ESO correspondente a esses parâmetros é, em contraste, o método de avaliação recomendado pelo FASB é usar a fórmula de precificação de chamadas europeias Black Scholes. A maturidade utilizada nesta fórmula pode ser a data de vencimento (dez anos neste caso) ou uma estimativa da vida esperada (4,99 anos neste caso). O valor correspondente de Black-Scholes de uma chamada de dez anos é de 56.38 superior ao valor previsto pelo nosso modelo. O valor Black-Scholes de uma chamada de 4,99 anos é de 35,92, 6,87 acima do valor previsto pelo nosso modelo. Assim, os valores ESO calculados de acordo com o modelo baseado na intensidade são significativamente menores que os valores Black-Scholes correspondentes, representando o comportamento sub-ótimo do executivo. Isso tem implicações contábeis significativas. Se alguém valesse os ESOs para fins contábeis utilizando o modelo Black-Scholes conforme recomendado pelo FASB, um seria bastante exagerado sobre seus verdadeiros custos para os acionistas e penalizaria injustamente as empresas que concedem ESOs. 6. Conclusão e orientações para pesquisas futuras A contribuição deste artigo é dupla. Em primeiro lugar, desenvolvemos um quadro de base de intensidade estocástica geral para a avaliação de opções de ações de executivos. Em segundo lugar, sugerimos duas especificações analiticamente tratáveis para a intensidade do exercício e confisco. Ambas as especificações têm a forma (assumindo que o ESO está investido): ht lambda f lambda e phi (st) 1, onde lambda f é a intensidade constante de Poisson do exercício ou confisco antecipado devido à cessação antecipada do emprego voluntário ou involuntário e lambda e phi (St) 1 é a intensidade do exercício antecipado devido ao desejo de liquidez ou diversificação do executivo. A última intensidade é positiva apenas quando a opção é in-the-money. Under the first specification, phi(s) 1. This leads to the analytically tractable occupation time model for ESOs, where the probability of early exercise due to the executive s desire for liquidity or diversification depends on the occupation time of the in-themoney region. Under the second specification, phi(s) ln S ln K, leading to the analytically tractable Brownian area model. Both specifications reflect the fact that there are two distinct economic factors influencing the executive exercise decision. These are the executive s desire for liquidity or diversification which only induces exercise when the option is vested and in-the-money, and the possibility of voluntary or involuntary employment termination (this is equally likely when the option is in - or out-of-the-money and is assumed to be independent of the stock price). We argue that our specification with two separate intensity parameters provides a more complete description of the economic situation at hand than previous work 7 which modeled early exercise and forfeiture as arising from a Poisson process with a single constant intensity parameter independent of the stock price. 7 See Shimko (199) and Jennergen and Naslund (1993) for the special case of our model with lambda e . 15 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 225 Our results can be further extended in several ways. First, in practice firms sometimes reset the terms of previously issued ESOs, especially when declining stock prices have moved the option deep out-of-the-money. In some interesting recent work, Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) develop a model to value ESOs, which accounts for the possibility of repricing. Repricing involves specifying a new strike price when the stock price declines significantly. 8 When the option is repriced, the new strike price is specified (in practice, the new strike is often set equal to the then-current stock price, i. e. the option is re-written at-the-money). Brenner, Sundaram and Yermack (1998) note that, ignoring the possibility of early exercise or forfeiture, an ESO whose strike price K will change to K the first time the stock price falls below a pre-specified barrier B, can be valued as a portfolio of a down-and-out call with the strike price K (old strike) and a down-and-in call with the strike K (new strike). Then the standard barrier option valuation formulas are used to value the ESO (see Rubinstein and Reiner (1991) for example). Our approach to modeling early exercise and forfeiture can be extended to ESOs subject to repricing in this manner by adding a lower barrier to our analysis. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 1 2 C 1 t 3 2 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 3 2 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 3 2 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 1 2 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 2 3 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 2 3 2s, y 3 (2alpha) 2 3 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 1 3 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 1 3 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y , x s), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 1 3 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, Borodin, A. N. and Salminen, P. (1996), Handbook of Brownian Motion, Birkhauser, Boston. Bremaud, P. (198), Point Processes and Queues Martingale Dynamics, New York, Springer - Verlag. Brenner, M. Sundaram, R. and Yermack, D. (1998), Altering the terms of executive stock options, forthcoming in Journal of Financial Economics. Carpenter, J. N. (1998), The exercise and valuation of executive stock options, Journal of Financial Economics 48, Chance, D. Kumar, R. and Todd, R. (1999), The Re-pricing of Executive Stock Options, Virginia Polytechnic Institute working paper. Chesney. M. Jeanblanc-Picqueacute, M. and Yor, M. (1997), Brownian excursions and Parisian barrier options, Advances in Applied Probability 29, Dassios A. (1995), The distribution of the quantile of a Brownian motion with drift and the pricing of related path-dependent options, The Annals of Applied Probability 5(2), Davydov, D. and Linetsky, V. (2), Structuring, pricing and hedging double barrier step options, forthcoming in Journal of Computational Finance. Davydov, D. Linetsky, V. and Lotz, C. (1998), The Hazard-rate Approach to Pricing Risky Debt: Two Analytically Tractable Examples, Working paper, Northwestern University. Detemple, J. and Sundaresan, S. (1999), Non-traded asset valuation with portfolio constraints: A binomial approach, Review of Financial Studies 12, Duffie, D. Schroder, M. and Skiadas, C. (1996), Recursive valuation of defaultable securities and the timing of resolution of uncertainty, Annals of Applied Probability 6, Duffie, D. and Singleton, K. (1999), Modeling term structures of defaultable bonds, Review of Financial Studies 12, Embrechts P. Rogers, C. and Yor, M. (1995), A proof of Dassios representation of the alpha-quantile of Brownian motion with drift, The Annals of Applied Probability 5(3), Foster, T. Koogler, P. and Vickrey, D. (1991), The valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 66, Fu, M. Madan, D. and Wang, T. (1997), Pricing Asian options: A comparison of analytical and Monte Carlo methods, Computational Finance 2, Geman, H. and Yor, M. (1993), Bessel processes, Asian options and perpetuities, Mathematical Finance 3, Geman, H. and Yor, M. (1996), Pricing and hedging double barrier options: A probabilistic approach, Mathematical Finance 6, Huddart, S. (1994), Employee stock options, Journal of Accounting and Economics 18, Huddart, S. and Lang, M. (1996), Employee stock option exercises: An empirical analysis, Journal of Accounting and Economics, pp Hugonnier, J. (1998), The Feynman-Kac Formula and Pricing Occupation Time Derivatives, ESSEC working paper. Jarrow, R. Lando, D. and Turnbull, S. (1997), A Markov model for the term structure of credit risk spreads, Review of Financial Studies 1, Jarrow, R. and Turnbull, S. (1995), Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk, Journal of Finance, March, Jennergren, L. and Naslund, B. (1993), A comment on the valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 68, Johnson, S. A. and Tian, Y. S. (1999), Indexed executive stock options, Journal of Financial Economics, forthcoming. Karatzas, I. and Shreve, S. (1992), Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York. 20 23 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Lando, D. (1998), On Cox processes and credit risky securities, Review of Derivatives Research 2, Leland, H. E. (1994), Corporate debt value, bond covenants, and optimal capital structure, Journal of Finance 49, Leland, H. E. and Toft, K. B. (1996), Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term structure of credit spreads, Journal of Finance, July, Linetsky, V. (1998), Steps to the barrier, RISK, April, Linetsky, V. (1999), Step options, Mathematical Finance 9, Madan, D. and Unal, H. (1996), Pricing the risk of default, Review of Derivatives Research 2, Madan, D. and Unal, H. (1998), A two-factor hazard-rate model for pricing risky debt in a complex capital structure, Journal of Financial and Quantitative Analysis, forthcoming. Marcus, A. and Kulatilaka, N. (1994), Valuing employee stock options, Financial Analysts Journal 5, Margrabe, W. (1978), The value of an option to exchange one asset for another, Journal of Finance 33, Marquardt, C. (1999), The Cost of Employee Stock Option Grants: An Empirical Analysis, Working paper, New York University. Merton, R. C. (1973), Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4, Merton, R. C. (1974), On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, Journal of Finance 29, Pechtl, A. (1998), Some Applications of Occupation Times of Brownian Motion with Drift in Mathematical Finance, Working paper, Deutsche Bank, Frankfurt. Pechtl, A. (1995), Classified information, in Over the Rainbow, Risk publications, pp Perman, M. and Wellner, J. (1996), On the distribution of Brownian areas, Annals of Applied Probability 6, Revuz, D. and Yor, M. (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd edn, Springer, Berlin. Rubinstein, M. (1995), On the accounting valuation of employee stock options, Journal of Derivatives, Rubinstein, M. and Reiner, E. (1991), Breaking down the barriers, RISK 4, Shimko, D. (199), Autonomously Exercised Options, Working paper, University of Southern California.
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